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Formal mathematics
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| + | 布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94%E5%B7%B4%E5%9F%BA 《数学原本》]共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。 集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA） | ||
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| + | 范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。 | ||
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| + | 类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。 | ||
| + | *[https://github.com/HoTT/HoTT HoTT Coq library] [https://homotopytypetheory.org/ homotopy type theory (HoTT)] [https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_type_theory 同伦类型论]是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。同伦类型论：数学的一价语义基础。 | ||
| + | *[https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/index.htm homotopy type theory (HoTT)] and [https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/cubical/index.htm Cubical type theory] | ||
| + | *[https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system Hindley–Milner (HM) type system] [https://github.com/wh5a/Algorithm-W-Step-By-Step Classic Algorithm W for type inference.] | ||
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| + | [https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory 同伦理论]在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（[https://www.math.ias.edu/Voevodsky/ Vladimir Voevodsky] [https://github.com/vladimirias GitHub账号]）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 [https://github.com/UniMath/UniMath UniMath]，使用证明辅助工具 [[Coq]] 实现。 | ||
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| + | [https://github.com/UniMath/UniMath/blob/a1105162a74e1b6603920c6181ac0f6cacb37da0/README.md The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)] | ||
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| + | 分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny） | ||
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| + | 助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。 | ||
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| + | [https://ncatlab.org/nlab/show/scheme 概形（scheme）]由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。 | ||
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| + | *[https://github.com/leanprover-community/mathlib Lean mathlib] [[Lean]] | ||
*[https://isarmathlib.org/ IsarMathLib] Proofs by humans, for humans, formally verified by [[Isabelle]]/ZF proof assistant | *[https://isarmathlib.org/ IsarMathLib] Proofs by humans, for humans, formally verified by [[Isabelle]]/ZF proof assistant | ||
*[https://github.com/openai/lean-gym lean-gym] [[Lean]] | *[https://github.com/openai/lean-gym lean-gym] [[Lean]] | ||
| − | *[[ | + | *[https://www.cs.nott.ac.uk/~pszjlh/pcalc.html Calculating Programs] |
| + | *[https://pll.cpsc.ucalgary.ca/charity1/www/home.html Charity] is a categorical programming language | ||
| + | *[https://groupoid.space/ Groupoid Infinity Institute] 研究所正在做数学的形式化，其形式化编程语言称为 Anders 1.3.0，是立方体类型系统（[https://cubical.systems/ cubical type systems]）的 CCHM/HTS 变体（variant ）[https://github.com/groupoid/ Groupoid @ GitHub] | ||
| + | *[https://henk.groupoid.space/ Henk: Pure Type System] 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） [https://github.com/groupoid/henk made by] [[Erlang]] | ||
| + | *[https://anders.groupoid.space/ Anders] is a Modal HoTT [[proof assistant]], written in [[OCaml]] and Pug. | ||
| + | *[https://github.com/mortberg/cubicaltt Cubical Type Theory] written in [[Haskell]]. | ||
==文档== | ==文档== | ||
| + | *[http://www.michaelbeeson.com/research/talks/SummerSchool2019.pdf Formalization of Geometry] | ||
| + | 两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。 | ||
| + | *[https://fm.csl.sri.com/SSFT22/speaklogicV11.pdf Speaking Logic] [https://fm.csl.sri.com/SSFT22/TypeTheory.pdf Type Theory] [https://fm.csl.sri.com/SSFT22/CAS2017.pdf A Brief Tutorial on the PVS Interactive Proof Assistant] | ||
*[https://cdn.openai.com/papers/Formal_Mathematics_Statement_Curriculum_Learning__ICML_2022.pdf Formal Mathematics Statement Curriculum Learning] | *[https://cdn.openai.com/papers/Formal_Mathematics_Statement_Curriculum_Learning__ICML_2022.pdf Formal Mathematics Statement Curriculum Learning] | ||
*[https://gtps.math.cmu.edu/etps-report-pdf.pdf ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs] | *[https://gtps.math.cmu.edu/etps-report-pdf.pdf ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs] | ||
| + | *[https://www.cs.utexas.edu/users/hunt/class/2021-fall/cs389r/vega-equations-new.pdf Theorems from CDS4LTL (Expanded)] Calculational Deductive System for Linear Temporal Logic（线性时态逻辑的计算演绎系统） | ||
| + | *[https://www21.in.tum.de/teaching/lambda/WS21/assets/lecture-notes.pdf Lambda Calculus] [https://www21.in.tum.de/teaching.html Teaching - Chair for Logic and Verification] | ||
| + | *[https://www.kth.se/social/files/596318bc56be5bfdc343d436/itp-course.pdf Interactive Theorem Proving (ITP) Course] | ||
==书籍== | ==书籍== | ||
| + | *《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland | ||
*[https://www.nuprl.org/book/ 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》] | *[https://www.nuprl.org/book/ 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》] | ||
*[https://www.amazon.com/Mathematical-Proofs-Transition-Advanced-Mathematics/dp/0134746759 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》] Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang | *[https://www.amazon.com/Mathematical-Proofs-Transition-Advanced-Mathematics/dp/0134746759 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》] Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang | ||
| + | *[https://github.com/HoTT/book 《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》] | ||
| + | *《形式语言与自动机导论》原书第3版，主要介绍形式语言、自动机、可计算性和相关内容。 | ||
| + | 主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。 | ||
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| + | ==STEM== | ||
| + | *[https://fm.csl.sri.com/SSFT24/ Tenth Summer School on Formal Techniques] | ||
| + | 这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。 | ||
==图集== | ==图集== | ||
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| + | [[category:Huihoo Foundation]] | ||
2024年11月11日 (一) 13:56的最后版本
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您可以在Wikipedia上了解到此条目的英文信息 Formal mathematics Thanks, Wikipedia. |
Formal mathematics 形式化数学
目录 |
[编辑] 简介
希尔伯特计划主要目标是想为数学提供一个可靠的理论基础：数学的完全形式化、完备性、相容一致性、可判定确定性。
布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。《数学原本》共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。 集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA）
- 代数结构——运算——来自数量关系；
- 序结构——先后——来自时间观念；
- 拓扑结构——连续性——来自空间经验。
《数学与哲学》张景中
ML (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意，ML 实力体现在编译器构建、自动化定理证明和形式化验证等。
[编辑] 理论
范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。
类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。
- HoTT Coq library homotopy type theory (HoTT) 同伦类型论是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。同伦类型论：数学的一价语义基础。
- homotopy type theory (HoTT) and Cubical type theory
- Hindley–Milner (HM) type system Classic Algorithm W for type inference.
同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（Vladimir Voevodsky GitHub账号）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 UniMath，使用证明辅助工具 Coq 实现。
分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny）
助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。
不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念
概形（scheme）由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。
[编辑] 形式语言
在数学、逻辑和计算机科学中，形式语言是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。
代数语言学又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。
[编辑] 项目
- Coq Univalent Mathematics
- Agda Univalent mathematics in Agda
- ACL2
- Isabelle
- Prolog logic programming language
- OCaml Zarith library 对任意精度（arbitrary-precision）的整数进行算术和逻辑运算
- Lean mathlib Lean
- IsarMathLib Proofs by humans, for humans, formally verified by Isabelle/ZF proof assistant
- lean-gym Lean
- Calculating Programs
- Charity is a categorical programming language
- Groupoid Infinity Institute 研究所正在做数学的形式化，其形式化编程语言称为 Anders 1.3.0，是立方体类型系统（cubical type systems）的 CCHM/HTS 变体（variant ）Groupoid @ GitHub
- Henk: Pure Type System 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） made by Erlang
- Anders is a Modal HoTT proof assistant, written in OCaml and Pug.
- Cubical Type Theory written in Haskell.
[编辑] 文档
两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。
- Speaking Logic Type Theory A Brief Tutorial on the PVS Interactive Proof Assistant
- Formal Mathematics Statement Curriculum Learning
- ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs
- Theorems from CDS4LTL (Expanded) Calculational Deductive System for Linear Temporal Logic（线性时态逻辑的计算演绎系统）
- Lambda Calculus Teaching - Chair for Logic and Verification
- Interactive Theorem Proving (ITP) Course
[编辑] 书籍
- 《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland
- 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》
- 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》 Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
- 《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》
- 《形式语言与自动机导论》原书第3版，主要介绍形式语言、自动机、可计算性和相关内容。
主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。
[编辑] STEM
这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。
[编辑] 图集
TeX希腊字母
Isabelle
Erlang定义的Henk纯类型系统
Mathematical vs. Formal Proof
Verified vs. Verifying Program
Univalent Foundations
Types,Logic,Sets,Homotopy
[编辑] 链接
- Metamath
- vdash a formal math wiki
- Formalized Mathematics IsarMathLib Blog
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