数学哲学

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数学哲学 Philosophy of mathematics

简介

数学思想、数学方法、数学哲学、数学史，对数学的思考 ...

数学的历史是由数学家谱写的, 而数学家的灵魂则是数学思想。

数学是一种语言，是一种世界通用语言，必须用学习外语的方法每天学习这种语言。

数学思想是数学家的灵魂。

数学哲学是哲学的一个分支，研究数学中的哲学问题的学科。

哲学，在某种意义上是望远镜；数学，好似显微镜清晰精确观察。模糊的哲学与精确的数学，人类的望远镜与显微镜。

如果我们想要预见数学的将来，适当的途径是研究这门科学的历史和现状。——庞加莱

内容

数学哲学属于一个大类，这个大类包括物理学哲学、生物学哲学、心理学哲学、语言哲学、逻辑哲学甚至是关于哲学的哲学。其主题是探讨与某个学术领域相关的哲学问题，内容包括该领域的形而上学、认识论、语义学、逻辑和方法论 ... 数学哲学家需要对数学本身、对作为人的数学家，对数学得以应用的世界提出看法，这是一个很高的要求。《数学哲学——对数学的思考》（Thinking about Mathematics）[美] 斯图尔特-夏皮罗

着重研究：

• 数学的对象、性质、特点、地位与作用；
• 数学新分支、新课题提出的重要概念的哲学意义；
• 著名数学家和数学流派的数学和哲学思想；
• 数学方法和数学基础等问题。

现代数学哲学的研究内容包括：

• 数学基础的研究，罗素的逻辑主义、布劳威尔的直觉主义和希尔伯特的形式主义等流派；
• 数学悖论的研究，探讨悖论的排除及彻底解决的可能性；
• 数学本体论的研究，探讨数学的研究对象是否为客观的真实的存在；数学真理性的研究等。

相关

• 数理逻辑
• 形式化数学
• 费曼学习法

数学方法

《数学方法溯源》欧阳绛 著，1990年

历史上的数学方法：

• 1、用几何方法解代数题
• 2、用代数方法解几何题
• 3、用代数方法研究数论
• 4、用群论方法研究代数
• 5、四元数开辟了研究抽象代数之路
• 6、用射影方法研究几何
• 7、用群论方法整理几何
• 8、用流数法创立微积分学
• 9、用几何方法解概率题

数学家

整理一些著名数学家的思想哲学、艺术和思考方式、特点：

• 笛卡儿明确宣称，科学的本质是数学。笛卡儿是第一个杰出的近代哲学家，是近代生物学的奠基人，是第一流的物理学家，但只偶然地是个数学家。他主张采取代数和几何中一切最好的东西，互相以长补短。代数给几何带来最自然的分类原则和最自然的方法层次。《古今数学思想》
• 伽利略和笛卡儿一样，相信自然界是用数学设计的。他给近代科学制定出更彻底更有效更具体的程序。《古今数学思想》
• 世界上存在的最完美的东西都是上帝安排的。因此毫无疑问，世界上所有的活动都可以通过计算相应原因下的极大值和极小值来得到 ——欧拉

学习欧拉的著作，乃是认识数学的最好工具。——高斯
读欧拉的著作吧，在任何意义上，他都是我们的大师。——拉普拉斯
欧拉是科学史上最多产的数学家，共写下了886本书籍和论文，彼得堡科学院为了整理他的著作整整花了47年。欧拉出生在瑞士，在俄国生活了30多年，是彼得堡科学院的院士。

• 黎曼进入哥廷根大学神学院学习哲学和神学，后改学数学。黎曼具有强烈的直觉，由于他的纵观全局的天赋，使他远远超出了同代人，凡是激起他兴趣的领域，他都从零开始发展理论，而从不担心传统或现存体系的限制。 ——克莱因
• 自然科学问题是庞加莱的数学研究的动机。庞加莱受益于法国数学全面综合的教育体系，拥有全局性的数学视野，是继高斯之后对于数学及其应用具有全面知识的最后数学家。他有出众的记忆力，能够将他所听到的东西在脑海中以图像化呈现。他不关心严格性，且不喜欢逻辑。他相信逻辑不是发明之道，而是一个结构化想法的方法，而且逻辑限制思想。他习惯于忽略细节，只看重点。他以惊人的迅捷在一个个想法之间跳跃。他发现的事实围绕着问题的核心整合起来，并立即自动地分类储存到了他的记忆里。
• 数学是一个有机体，它的生命力的一个必要条件是所有各部分的不可分离的结合。希尔伯特亚历山大式的公理权威，代数、几何、分析、数学物理、数学哲学的稳固基础。希尔伯特的23个问题和希尔伯特计划的数学指南。

希尔伯特在他的《公理化思想》（Axiomatisches Denken）的最后一部分赞扬公理化的研究方法：能够成为数学的思考对象的任何事物，在一个理论的建立一旦成熟时，就开始服从于公理化方法，从而进入了数学。通过突进到公理的更深层次……我们能够获得科学思维的更深入的洞察力，并弄清楚我们的知识的统一性。特别是，得力于公理化方法，数学似乎就被请来在一切学问中起领导的作用。《古今数学思想》公理化运动 p.1366

• 傅里叶在他的《热的解析理论》一书的序言中写道：“对自然界的深入研究是数学发现的最丰富的源泉。这种研究的优点不仅在于有完全明确的目的性，还在于排除含糊不清的问题和无用的计算。这是建立分析自身的一种方法，是发现至关紧要的、在科学里必须经常保存的思想的一种方法。基本的思想就是那些表现自然界发生的事件的思想。”他还强调应当把数学应用到对社会有用的问题上去。《古今数学思想》 p.1377

书籍

• 《劳特利奇哲学史》第9卷 20世纪科学、逻辑和数学哲学
• 《什么是数学 对思想和方法的基本研究》[美] R·柯朗 H·罗宾
• 《高观点下的初等数学》（第一卷）算术 代数 分析，（第二卷）几何，（第三卷）精确数学与近似数学，[德] 克莱因
• 《自然哲学之数学原理》
• 《古今数学思想》 Mathematical Thought from Ancient to Modern Times

克莱因这部弘篇巨著，能帮助你加深对整个数学世界的理解与思考。可以说，就数学史而论，这是迄今为止最好的一部。

• 《数学哲学：对数学的思考》Thinking about Mathematics 复旦大学出版社 [美]斯图尔特‧夏皮罗
• 《作为哲学的数理逻辑》 杨睿之
• 《数学哲学》 商务印书馆 [美]保罗·贝纳塞拉夫, 希拉里·普特南
• 《数学与哲学》张景中
• 《数学的思维方式与创新》观察—抽象—探索—猜测—论证是数学思维方式全过程的五个重要环节，丘维声
• 《数学的建筑》集中介绍了20世纪最有影响的数学家团体布尔巴基学派 数学家吴文俊指出: 布尔巴基是一种民族数学复兴运动。[法] 布尔巴基 等著 胡作玄等 编译

布尔巴基思想的核心：

• 1、数学的统一性
• 2、数学结构是数学统一性的基础
• 3、数学结构的分类

代数结构 (群、环、域)，序结构 (偏序、全序)，拓扑结构 (领域、连续、极限、连通性、维数)

• 4、数学的历史分析

图集

• 

  古今数学思想

链接

• Association des collaborateurs de Nicolas Bourbaki 尼古拉-布尔巴基的合作者协会