Formal mathematics

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Formal mathematics 形式化数学

目录

简介

What is Formal Math?

希尔伯特计划主要目标是想为数学提供一个可靠的理论基础:数学的完全形式化、完备性、相容一致性、可判定确定性。

数理逻辑数学证明数学哲学

布尔巴基认为有三种基本的抽象结构:代数结构、序结构、拓扑结构,他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。《数学原本》共十一卷,有七千多页,是有史以来最大的数学巨著。 集合论(记为E)代数(记为A)拓扑学(记为TG)单实变函数(记为FVR)拓扑向量空间(记为EVT)积分(记为INT)交换代数(记为AC)微分及解析流形(记为VAR)李群及李代数(记为LIE)谱理论(记为TS)代数拓扑(记为TA)

  • 代数结构——运算——来自数量关系;
  • 序结构——先后——来自时间观念;
  • 拓扑结构——连续性——来自空间经验。

《数学与哲学》张景中

Formalized Mathematics

ML (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意,ML 实力体现在编译器构建、自动化定理证明和形式化验证等。

Open Provable Foundation

理论

Homotopy Type Theory

范畴论(Category theory)是数学的一门学科,以抽象的方法处理数学概念,将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”,数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。

类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论,因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。

同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基(Vladimir Voevodsky GitHub账号)关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基(2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世)近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 UniMath,使用证明辅助工具 Coq 实现。

The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)

分开记忆:同构(iso - morphism)同态(homo - morphism)同伦(homo - topy)同胚(homeo - morphism)同调(homo - logy)同痕(iso - topy)同源(iso-geny)

助记:homos - 表示相同;homo - 表示基本相同但不全同;iso - 表示全同;morphism - 表示映射。同构是双射的同态,同胚是拓扑空间范畴中的同构,同痕是同伦的加细版。

不对等性公理(univalence axiom)确定了以下三个概念

HoTT-univalence-axiom.png

概形(scheme)由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出,概形理论将许多代数几何和数论的问题统一,这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

形式语言

在数学、逻辑和计算机科学中,形式语言是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。

代数语言学又称做形式语言学,主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述,并据此创立形式化的普遍语法。

项目

文档

两千多年来,几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片(66页PDF)将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。

书籍

主要内容包括:计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。

STEM

这是有关形式化方法、形式化技术的课程,质量很高。基于形式逻辑的技术,如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新,已经有11年了(SSFT11 - SSFT22)。

图集

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