Formal mathematics

2022年10月19日 (三) 07:14的版本

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Formal mathematics 形式化数学

简介

What is Formal Math?

Open Provable Foundation

数理逻辑/数学证明

Formalized Mathematics

ML (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意，ML 实力体现在编译器构建、自动化定理证明和形式化验证等。

理论

类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。

• HoTT Coq library homotopy type theory (HoTT) 同构类型论是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。
• homotopy type theory (HoTT) and Cubical type theory
• Hindley–Milner (HM) type system Classic Algorithm W for type inference.

同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（Vladimir Voevodsky GitHub账号）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 UniMath，使用证明辅助工具 Coq 实现。

The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)

不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念

形式语言

在数学、逻辑和计算机科学中，形式语言是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。

代数语言学又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。

项目

• Coq Univalent Mathematics
• Agda Univalent mathematics in Agda
• ACL2
• Isabelle
• Prolog logic programming language
• OCaml Zarith library 对任意精度（arbitrary-precision）的整数进行算术和逻辑运算
• Lean mathlib Lean
• IsarMathLib Proofs by humans, for humans, formally verified by Isabelle/ZF proof assistant
• lean-gym Lean
• Calculating Programs
• Charity is a categorical programming language
• Groupoid Infinity Institute 研究所正在做数学的形式化，其形式化编程语言称为 Anders 1.3.0，是立方体类型系统（cubical type systems）的 CCHM/HTS 变体（variant ）Groupoid @ GitHub
• Henk: Pure Type System 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） made by Erlang
• Anders is a Modal HoTT proof assistant, written in OCaml and Pug.
• Cubical Type Theory written in Haskell.

文档

• Formalization of Geometry

两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。

• Speaking Logic Type Theory A Brief Tutorial on the PVS Interactive Proof Assistant
• Formal Mathematics Statement Curriculum Learning
• ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs
• Theorems from CDS4LTL (Expanded) Calculational Deductive System for Linear Temporal Logic（线性时态逻辑的计算演绎系统）
• Lambda Calculus Teaching - Chair for Logic and Verification
• Interactive Theorem Proving (ITP) Course

书籍

• 《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland
• 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》
• 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》 Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
• 《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》
• 《形式语言与自动机导论》原书第3版，主要介绍形式语言、自动机、可计算性和相关内容。

主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。

STEM

• Tenth Summer School on Formal Techniques

这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有11年了（SSFT11 - SSFT22）。

图集

• 

  Isabelle

• 

  Erlang定义的Henk纯类型系统

• 

  Mathematical vs. Formal Proof

• 

  Verified vs. Verifying Program

• 

  Univalent Foundations

• 

  Types,Logic,Sets,Homotopy

链接

• Metamath
• vdash a formal math wiki
• Formalized Mathematics IsarMathLib Blog