Formal mathematics

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布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94%E5%B7%B4%E5%9F%BA 《数学原本》]共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。 集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA）
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==理论==
 
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范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。
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类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。   
 
类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。   
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*[https://github.com/HoTT/HoTT HoTT Coq library] [https://homotopytypetheory.org/ homotopy type theory (HoTT)] 同伦类型论
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*[https://github.com/HoTT/HoTT HoTT Coq library] [https://homotopytypetheory.org/ homotopy type theory (HoTT)] [https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_type_theory 同伦类型论]是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。同伦类型论：数学的一价语义基础。
 
*[https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/index.htm homotopy type theory (HoTT)] and [https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/cubical/index.htm Cubical type theory]
 
*[https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/index.htm homotopy type theory (HoTT)] and [https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/cubical/index.htm Cubical type theory]
 
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system Hindley–Milner (HM) type system] [https://github.com/wh5a/Algorithm-W-Step-By-Step Classic Algorithm W for type inference.]
 
*[https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system Hindley–Milner (HM) type system] [https://github.com/wh5a/Algorithm-W-Step-By-Step Classic Algorithm W for type inference.]
  
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同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（Vladimir Voevodsky）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 [https://github.com/UniMath/UniMath UniMath]，使用证明辅助工具 [[Coq]] 实现。
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[https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory 同伦理论]在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（[https://www.math.ias.edu/Voevodsky/ Vladimir Voevodsky] [https://github.com/vladimirias GitHub账号]）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 [https://github.com/UniMath/UniMath UniMath]，使用证明辅助工具 [[Coq]] 实现。
  
 
[https://github.com/UniMath/UniMath/blob/a1105162a74e1b6603920c6181ac0f6cacb37da0/README.md The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)]
 
[https://github.com/UniMath/UniMath/blob/a1105162a74e1b6603920c6181ac0f6cacb37da0/README.md The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)]
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分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny）
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助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。
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不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念
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[https://ncatlab.org/nlab/show/scheme 概形（scheme）]由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。
  
 
==形式语言==
 
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在数学、逻辑和计算机科学中，[[formal language|形式语言]]是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。
 
在数学、逻辑和计算机科学中，[[formal language|形式语言]]是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。
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[[computational linguistics|代数语言学]]又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。
  
 
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*[https://henk.groupoid.space/ Henk: Pure Type System] 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） [https://github.com/groupoid/henk made by] [[Erlang]]
 
*[https://henk.groupoid.space/ Henk: Pure Type System] 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） [https://github.com/groupoid/henk made by] [[Erlang]]
 
*[https://anders.groupoid.space/ Anders] is a Modal HoTT [[proof assistant]], written in [[OCaml]] and Pug.
 
*[https://anders.groupoid.space/ Anders] is a Modal HoTT [[proof assistant]], written in [[OCaml]] and Pug.
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*[[e language]]
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*[https://github.com/mortberg/cubicaltt Cubical Type Theory] written in [[Haskell]].
  
 
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==书籍==
 
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*《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland
 
*[https://www.nuprl.org/book/ 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》]
 
*[https://www.nuprl.org/book/ 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》]
 
*[https://www.amazon.com/Mathematical-Proofs-Transition-Advanced-Mathematics/dp/0134746759 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》] Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
 
*[https://www.amazon.com/Mathematical-Proofs-Transition-Advanced-Mathematics/dp/0134746759 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》] Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
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==STEM==
 
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*[https://fm.csl.sri.com/SSFT22/ Tenth Summer School on Formal Techniques]
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*[https://fm.csl.sri.com/SSFT24/ Tenth Summer School on Formal Techniques]
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这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有11年了（SSFT11 - SSFT22）。
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这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。
  
 
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2024年11月11日 (一) 13:56的最后版本

Wikipedia-35x35.png 您可以在Wikipedia上了解到此条目的英文信息 Formal mathematics Thanks, Wikipedia.

Formal mathematics 形式化数学

目录

[编辑] 简介

What is Formal Math?

希尔伯特计划主要目标是想为数学提供一个可靠的理论基础：数学的完全形式化、完备性、相容一致性、可判定确定性。

数理逻辑、数学证明、数学哲学

布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。《数学原本》共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。 集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA）

  • 代数结构——运算——来自数量关系；
  • 序结构——先后——来自时间观念；
  • 拓扑结构——连续性——来自空间经验。

《数学与哲学》张景中

Formalized Mathematics

ML (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意，ML 实力体现在编译器构建、自动化定理证明和形式化验证等。

Open Provable Foundation

[编辑] 理论

Homotopy Type Theory

范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。

类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。

同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（Vladimir Voevodsky GitHub账号）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 UniMath，使用证明辅助工具 Coq 实现。

The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)

分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny）

助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。

不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念

HoTT-univalence-axiom.png

概形（scheme）由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

[编辑] 形式语言

在数学、逻辑和计算机科学中，形式语言是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。

代数语言学又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。

[编辑] 项目

[编辑] 文档

两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。

[编辑] 书籍

主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。

[编辑] STEM

这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。

[编辑] 图集

  • TeX希腊字母

  • Isabelle

  • Erlang定义的Henk纯类型系统

  • Mathematical vs. Formal Proof

  • Verified vs. Verifying Program

  • Univalent Foundations

  • Types,Logic,Sets,Homotopy

[编辑] 链接

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