Formal mathematics

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Formal mathematics 形式化数学

[编辑] 简介

希尔伯特计划主要目标是想为数学提供一个可靠的理论基础：数学的完全形式化、完备性、相容一致性、可判定确定性。

布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。《数学原本》共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA）

代数结构——运算——来自数量关系；
序结构——先后——来自时间观念；
拓扑结构——连续性——来自空间经验。

《数学与哲学》张景中

Formalized Mathematics

ML (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意，ML 实力体现在编译器构建、自动化定理证明和形式化验证等。

Open Provable Foundation

[编辑] 理论

范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。

类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。

HoTT Coq library homotopy type theory (HoTT) 同伦类型论是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。同伦类型论：数学的一价语义基础。
homotopy type theory (HoTT) and Cubical type theory
Hindley–Milner (HM) type system Classic Algorithm W for type inference.

同伦理论在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（Vladimir Voevodsky GitHub账号）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 UniMath，使用证明辅助工具 Coq 实现。

The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)

分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny）

助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。

不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念

概形（scheme）由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。

[编辑] 形式语言

在数学、逻辑和计算机科学中，形式语言是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。

代数语言学又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。

[编辑] 项目

Coq Univalent Mathematics
Agda Univalent mathematics in Agda
ACL2
Isabelle
Prolog logic programming language
OCaml Zarith library 对任意精度（arbitrary-precision）的整数进行算术和逻辑运算
Lean mathlib Lean
IsarMathLib Proofs by humans, for humans, formally verified by Isabelle/ZF proof assistant
lean-gym Lean
Calculating Programs
Charity is a categorical programming language
Groupoid Infinity Institute 研究所正在做数学的形式化，其形式化编程语言称为 Anders 1.3.0，是立方体类型系统（cubical type systems）的 CCHM/HTS 变体（variant ）Groupoid @ GitHub
Henk: Pure Type System 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） made by Erlang
Anders is a Modal HoTT proof assistant, written in OCaml and Pug.
Cubical Type Theory written in Haskell.

[编辑] 文档

Formalization of Geometry

两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。

Speaking Logic Type Theory A Brief Tutorial on the PVS Interactive Proof Assistant
Formal Mathematics Statement Curriculum Learning
ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs
Theorems from CDS4LTL (Expanded) Calculational Deductive System for Linear Temporal Logic（线性时态逻辑的计算演绎系统）
Lambda Calculus Teaching - Chair for Logic and Verification
Interactive Theorem Proving (ITP) Course

[编辑] 书籍

《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland
《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》
《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》 Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》
《形式语言与自动机导论》原书第3版，主要介绍形式语言、自动机、可计算性和相关内容。

主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。

[编辑] STEM

Tenth Summer School on Formal Techniques

这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。

[编辑] 图集

TeX希腊字母
Isabelle
Erlang定义的Henk纯类型系统
Mathematical vs. Formal Proof
Verified vs. Verifying Program
Univalent Foundations
Types,Logic,Sets,Homotopy

[编辑] 链接

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 [http://vdash.org/formal/ What is Formal Math?]
-[[Open Provable Foundation]]
+[https://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert%27s_program 希尔伯特计划]主要目标是想为数学提供一个可靠的理论基础：数学的完全形式化、完备性、相容一致性、可判定确定性。
+[[数理逻辑]]、[[Formal verification|数学证明]]、[[数学哲学]]
+布尔巴基认为有三种基本的抽象结构：代数结构、序结构、拓扑结构，他们把全部数学看作按不同结构进行演绎的体系。[https://zh.wikipedia.org/wiki/%E5%B0%BC%E5%8F%A4%E6%8B%89%C2%B7%E5%B8%83%E5%B0%94%E5%B7%B4%E5%9F%BA 《数学原本》]共十一卷，有七千多页，是有史以来最大的数学巨著。 集合论（记为E）代数（记为A）拓扑学（记为TG）单实变函数（记为FVR）拓扑向量空间（记为EVT）积分（记为INT）交换代数（记为AC）微分及解析流形（记为VAR）李群及李代数（记为LIE）谱理论（记为TS）代数拓扑（记为TA）
-[[数理逻辑]]/[[Formal verification|数学证明]]
+*代数结构——运算——来自数量关系；
+*序结构——先后——来自时间观念；
+*拓扑结构——连续性——来自空间经验。
+《数学与哲学》张景中
 [https://fm.mizar.org/ Formalized Mathematics]
 [[ML]] (Meta language -> Mathematics language) 很有寓意，ML 实力体现在[[compiler|编译器]]构建、自动化定理证明和[[formal verification|形式化验证]]等。
+[[Open Provable Foundation]]
 ==理论==
+[[文件:Homotopy-Type-Theory.png|right|Homotopy Type Theory]]
+范畴论（Category theory）是数学的一门学科，以抽象的方法处理数学概念，将这些概念形式化成一组组的“对象”及“态射”，数学中许多重要的领域可以形式化为范畴。
+类型论在绝大多数计算机证明辅助系统中被用作集合论的替代理论，因为集合论的语言难以转化成计算机辅助证明的形式语言。
+*[https://github.com/HoTT/HoTT HoTT Coq library] [https://homotopytypetheory.org/ homotopy type theory (HoTT)] [https://en.wikipedia.org/wiki/Homotopy_type_theory 同伦类型论]是一个结合了几个不同领域的一个新的数学分支。同伦类型论：数学的一价语义基础。
 *[https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/index.htm homotopy type theory (HoTT)] and [https://euclideanspace.com/maths/discrete/types/hott/cubical/index.htm Cubical type theory]
+*[https://en.wikipedia.org/wiki/Hindley%E2%80%93Milner_type_system Hindley–Milner (HM) type system] [https://github.com/wh5a/Algorithm-W-Step-By-Step Classic Algorithm W for type inference.]
+[https://ncatlab.org/nlab/show/homotopy+theory 同伦理论]在2002年菲尔兹奖获得者符拉基米尔·弗沃特斯基（[https://www.math.ias.edu/Voevodsky/ Vladimir Voevodsky] [https://github.com/vladimirias GitHub账号]）关于米尔诺猜想的工作中发挥了重要作用。弗沃特斯基（2017年9月30日因为动脉瘤于普林斯顿去世）近年来致力于使用一价语义构造新数学基础的理论体系 [https://github.com/UniMath/UniMath UniMath]，使用证明辅助工具 [[Coq]] 实现。
+[https://github.com/UniMath/UniMath/blob/a1105162a74e1b6603920c6181ac0f6cacb37da0/README.md The UniMath project was started in 2014 by merging the repository Foundations, by Vladimir Voevodsky (written in 2010)]
+分开记忆：同构（iso - morphism）同态（homo - morphism）同伦（homo - topy）同胚（homeo - morphism）同调（homo - logy）同痕（iso - topy）同源（iso-geny）
+助记：homos - 表示相同；homo - 表示基本相同但不全同；iso - 表示全同；morphism - 表示映射。同构是双射的同态，同胚是拓扑空间范畴中的同构，同痕是同伦的加细版。
+不对等性公理（univalence axiom）确定了以下三个概念
+[[文件:HoTT-univalence-axiom.png]]
+[https://ncatlab.org/nlab/show/scheme 概形（scheme）]由亚历山大在他1960年的论文《代数几何基础》中提出，概形理论将许多代数几何和数论的问题统一，这也使得怀尔斯得以证明费马最后定理。
+==形式语言==
+在数学、逻辑和计算机科学中，[[formal language|形式语言]]是用精确的数学或机器可处理的公式定义的语言。
+[[computational linguistics|代数语言学]]又称做形式语言学，主要研究如何对语言的形式结构进行严格的数学描述，并据此创立形式化的普遍语法。
 ==项目==
+*[[Coq]] [https://github.com/UniMath/UniMath Univalent Mathematics]
+*[[Agda]] [https://github.com/UniMath/agda-unimath Univalent mathematics in Agda]
+*[[ACL2]]
+*[[Isabelle]]
 *[[Prolog]] logic programming language
 *[https://github.com/ocaml/Zarith OCaml Zarith library] 对任意精度（arbitrary-precision）的整数进行算术和逻辑运算
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 *[https://groupoid.space/ Groupoid Infinity Institute] 研究所正在做数学的形式化，其形式化编程语言称为 Anders 1.3.0，是立方体类型系统（[https://cubical.systems/ cubical type systems]）的 CCHM/HTS 变体（variant ）[https://github.com/groupoid/ Groupoid @ GitHub]
 *[https://henk.groupoid.space/ Henk: Pure Type System] 是带有通用量词（universal quantifier）和宇宙无穷数量（infinity number of universes）的最小语言，用于一致的类型检查和规范化（consistent typechecking and normalization） [https://github.com/groupoid/henk made by] [[Erlang]]
-*[https://anders.groupoid.space/ Anders] is a Modal HoTT [[proof assistant]], made by [[OCaml]] and Pug.
+*[https://anders.groupoid.space/ Anders] is a Modal HoTT [[proof assistant]], written in [[OCaml]] and Pug.
-*[[e language]]
+*[https://github.com/mortberg/cubicaltt Cubical Type Theory] written in [[Haskell]].
 ==文档==
+*[http://www.michaelbeeson.com/research/talks/SummerSchool2019.pdf Formalization of Geometry]
+两千多年来，几何学一直是公理方法、逻辑和形式化的一个重要试验场。本幻灯片（66页PDF）将回顾几何学的历史、公理学、以及计算机辅助证明和证明检查的使用。
+*[https://fm.csl.sri.com/SSFT22/speaklogicV11.pdf Speaking Logic] [https://fm.csl.sri.com/SSFT22/TypeTheory.pdf Type Theory] [https://fm.csl.sri.com/SSFT22/CAS2017.pdf A Brief Tutorial on the PVS Interactive Proof Assistant]
 *[https://cdn.openai.com/papers/Formal_Mathematics_Statement_Curriculum_Learning__ICML_2022.pdf Formal Mathematics Statement Curriculum Learning]
 *[https://gtps.math.cmu.edu/etps-report-pdf.pdf ETPS: A System to Help Students Write Formal Proofs]
+*[https://www.cs.utexas.edu/users/hunt/class/2021-fall/cs389r/vega-equations-new.pdf Theorems from CDS4LTL (Expanded)] Calculational Deductive System for Linear Temporal Logic（线性时态逻辑的计算演绎系统）
+*[https://www21.in.tum.de/teaching/lambda/WS21/assets/lecture-notes.pdf Lambda Calculus] [https://www21.in.tum.de/teaching.html Teaching - Chair for Logic and Verification]
+*[https://www.kth.se/social/files/596318bc56be5bfdc343d436/itp-course.pdf Interactive Theorem Proving (ITP) Course]
 ==书籍==
+*《Proofs 101 An Introduction to Formal Mathematics》 2021, Joseph Kirtland
 *[https://www.nuprl.org/book/ 《Implementing Mathematics with The Nuprl Proof Development System》]
 *[https://www.amazon.com/Mathematical-Proofs-Transition-Advanced-Mathematics/dp/0134746759 《Mathematical Proofs: A Transition to Advanced Mathematics》] Gary Chartrand, Albert D. Polimeni, Ping Zhang
+*[https://github.com/HoTT/book 《Homotopy Type Theory: Univalent Foundations of Mathematics》]
+*《形式语言与自动机导论》原书第3版，主要介绍形式语言、自动机、可计算性和相关内容。
+主要内容包括：计算理论导引、有穷自动机、正则语言与正则文法、上下文无关语言及文法、下推自动机、图灵机、形式语言和自动机的层次结构、计算复杂性等。
+==STEM==
+*[https://fm.csl.sri.com/SSFT24/ Tenth Summer School on Formal Techniques]
+这是有关形式化方法、形式化技术的课程，质量很高。基于形式逻辑的技术，如模型检查、可满足性、静态分析和自动定理证明在建模、分析、验证等方面都有广泛应用。课程每年更新，已经有13年了（SSFT11 - SSFT24）。
 ==图集==
 <gallery>
+image:greek-letters.png|TeX希腊字母
 image:isabelle-on-windows.png|Isabelle
 image:Erlang-Henk-Pure-Type-System.png|Erlang定义的Henk纯类型系统
+image:Mathematical-vs-Formal-Proof.png|Mathematical vs. Formal Proof
+image:Verified-vs-Verifying-Program.png|Verified vs. Verifying Program
+image:Univalent-Foundations-Vladimir-Voevodsky.png|Univalent Foundations
+image:types-logic-sets-homotopy.png|Types,Logic,Sets,Homotopy
 </gallery>
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 [[category:formal]]
 [[category:mathematics]]
+[[category:mathematical logic]]
 [[category:reasoning]]
 [[category:Huihoo Foundation]]